MAT993F - Courbes et variétés complexes algébriques
Ce séminaire a pour but de favoriser les activités de recherche, l'éclosion et la diffusion d'idées nouvelles en géométrie différentielle et topologie. Il comporte normalement au moins un exposé par étudiant inscrit. Offert à l'Automne 2024.
MAT993N - Théorie de Hodge, une introduction
Le cours porte sur un développement de la théorie de Hodge, avec comme point de départ la structure de Hodge d’une courbe et, plus généralement, d’une variété de Kähler. On développe rapidement la théorie des variétés de Kähler et leurs dégénérescences en faisant référence à des livres classiques. Sont ensuite abordés des exemples classiques en exhibant leur rôle dans la classification des variétés algébriques et dans l’étude de leurs espaces de module, en incluant une introduction à la théorie des variations de structures de Hodge. On touchera également à des outils analytiques simples tels l'hyperbolicité pour pouvoir aborder quelques problèmes globaux dans le sujet. Si le temps le permet, on parlera finalement des notions de stabilité, de la correspondance de Donaldson-Uhlenbeck-Yau et ses généralisations, ou encore on donnera quelques rudiments de théorie de Hodge non abélienne. Offert à l'Automne 2024.
MAT993U - Séminaire de géométrie et topologie : Géométrie kählérienne des variétés toriques
Ce cours a un double objectif. Dans un premier temps, nous introduirons la notion de variété torique, de deux points de vue complémentaires : le point de vue de la géométrie symplectique et les actions hamiltoniennes (la théorie de Delzant) et le point de vue de la géométrie algébrique complexe (la théorie des polytopes entiers et les éventails). Dans une deuxième partie du cours, nous nous spécialiserons dans l'étude de la géométrie riemannienne des variétés toriques et décrirons les métriques riemanniennes compatibles en termes de fonctions convexes lisses sur le polytope de Delzant correspondant (la théorie d'Abreu-Guillemin). Ceci nous conduira à notre objectif final qui est de présenter la résolution récente (obtenue par Chen-Cheng en 2021) de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, donnant une condition nécessaire et suffisante, exprimée en termes du polytope de Delzant correspondant, pour qu’une variété torique admette une métrique riemannienne compatible de courbure scalaire constante. Le seul pré-requis est un premier cours de géométrie différentielle sur les variétés. Le cours servira de préparatif pour l'école doctorale CRM-SMS Travaux récents sur les métriques de Kähler à courbure spéciale (17-21 juin 2024, https://www.crmath.ca/activites/#/type/activity/id/3897)
MAT993V - Homéomorphismes pseudo-Anosov des surfaces
Les homéomorphismes pseudo-Anosov d'une surface jouent un rôle central dans la classification de Nielsen-Thurston des classes d'isotopie d'homéomorphismes de surface. Ils ont fourni une riche source de directions de recherche en topologie et en systèmes dynamiques depuis les années 80. Ce cours est une introduction au sujet et a pour but d'équiper l'auditoire d'un bagage suffisant pour qu'il puisse ensuite explorer la littérature dans les domaines qu'il juge intéressants. Nous aborderons, entre autres, les sujets suivants : les train tracks, la théorie de Teichmuller de base, une preuve de la classification de Nielsen-Thurston, la théorie des faces fibrées de Thurston-Fried, et les triangulations veering. Les prérequis pour ce cours sont des notions de base en topologie différentielle (variétés, métriques, flots) et en topologie algébrique (groupe fondamental, homologie, cohomologie).
MAT993W - Géométrie et topologie symplectique
Descriptif: La topologie symplectique est l’étude des variétés de dimension paire arbitraire munie d’une forme symplectique. Cette forme caractérise complètement la forme de Kähler quand la structure complexe est donnée et réciproquement. Elle est donc équivalente, dans le domaine complexe, à la structure riemannienne. Mais elle est beaucoup plus générale, car elle s’applique aussi bien aux variétés qui ne possèdent pas de structure complexe intégrable, comme par exemple la plupart des cotangents des variétés réelles, qui sont le lieu de la mécanique classique et quantique. En gros, la topologie symplectique est la réunion de la géométrie algébrique et de la théorie des systèmes hamiltoniens. Ce qui est fascinant est que la première se trouve dans l’intérieur de la variété alors que la seconde se trouve à son bord. Alternativement, la topologie symplectique est le versant mathématique (plus général) de la théorie des cordes en physique. Le cours s’adresse aux doctorants et aux étudiants de maîtrise avancés. Le cours est self-content. Il sera bilingue (écrire en anglais et parler en français) s’il le faut, et accessible par visioconférence aux étudiants hors de Montréal. Nous débuterons avec les concepts de base et terminerons avec les invariants de Gromov-Witten, la cohomologie quantique et les conjectures récentes. Ce cours-séminaire sera préparé par François Lalonde.